Universität Für Musik Und Darstellende Kunst Graz

Institut für

Elektronische Musik und Akustik

Inffeldgasse 10

A 8010 Graz

 

 

 

 

Analyse der Fensterung

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Algorithmen in Akustik und Computermusik 1, UE

Rau Constanze

Matr.-Nr. 9730573

SS 2002

 

Betreuer:

Piotr Majdak

Inhaltsverzeichnis:

 

1. Kurzbeschreibung: Analyse der Fensterung *

2. Abstract *

3. Allgemeine Einleitung *

4. Die Fensterung und das Rechteckfenster *

4.1. Herleitung der Impulsantwort endlicher Länge durch Begrenzung *

4.2. Das Rechteckfenster *

4.3. Problem des Rechteck-Fensters: Gibbs-Phänomen / Leck-Effekt *

5. Weitere häufig angewandte Fenster *

5.1. Symmetrie-Eigenschaften *

5.2. Das symmetrische modifizierte Rechteckfenster *

5.3. Das Hann- bzw. Hanning-Fenster *

5.4. Das Hamming-Fenster *

5.5. Das Verallgemeinerte Hamming-Fenster *

5.6. Das Blackman-Fenster *

5.7. Das Barlett-Dreieck-Fenster *

5.8. Das Kaiser-Fenster *

6. Beurteilung der verschiedenen Fenster *

6.1. Kriterien zur Auswahl eines Fensters *

6.1.1. Verhältnis aus der Amplitude der höchsten Nebenkeule und der Amplitude der Hauptkeule *

6.1.2. Maximaler Abtastfehler *

6.1.3. Die Breite der Hauptkeule *

6.2. Zusammenfassung der Eigenschaften der verschiedenen Fensterfunktionen *

6.2.1. Vergleich der verschiedenen Abtastfenster im Zeitbereich *

6.2.2. Vergleich der verschiedenen Abtastfenster im Frequenzbereich *

6.2.3. Die Eigenschaften der verschiedenen Fensterfunktionen in Tabellenform *

7. Schlußbemerkungen *

1. Kurzbeschreibung: Analyse der Fensterung

Um verschiedene Signale verarbeiten zu können, ist es notwendig, daß diese Signale endlich sind. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Um solche endliche Signal-Folgen aus unendlichen Folgen zu generieren verwendet man häufig die Fenstertechnik.

Dieses "Abschneiden" einer unendlichen Folge zur endlichen Folge hat jedoch auch Auswirkungen im Frequenzbereich.

Diese Projektarbeit soll nach einer kurzen Einleitung erklären, welche verschiedenen Fenstertypen es gibt, was die Unterschiede dieser Fenster sind und wann welcher Fenstertyp verwendet wird. Außerdem sollen die Folgen der Fensterung im Frequenzbereich aufgezeigt werden.

 

 

 

2. Abstract

In practical tasks of digital signal-processing only finite signals can be used. To create finite signals from infinite signals windowing techniques are appropriate.

This clipping of information causes some unwished effects in the frequency domain.

After a short introduction, this paper shows the most important types of windows, their differences in practical use and the effects in time and frequency domain.

 

 

3. Allgemeine Einleitung

Prinzipiell kann man zwei Arten von Filter unterscheiden: Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter, Infinite-Impulse-Response-Filter) und Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter, Finite-Impulse-Response-Filter).

Die Gruppe der FIR-Filter besitzt im Gegensatz zu den IIR-Filtern eine Reihe wünschenswerter Eigenschaften:

Alle FIR-Filter besitzen eine Impulsantwort h(n) mit folgender Form

Dabei ist Ô (n-k) ein Delta-Impuls, h(k) die Amplitude des Impulses (um Amplituden unterschiedlich von 1 generieren zu können). Diese Amplitude h(k) kann auch mit bk bezeichnet werden. Daraus läßt sich folgern, daß FIR-Filter immer stabil sind.

Weiters ist bekannt, daß immer ein realisierbares Filter bestimmt werden kann. Ist die Impulsantwort-Folge h(n) nichtkausal, dann kann sie so verzögert werden, daß eine kausale Folge entsteht, die zu einem realisierbaren Filter führt.

Folglich entsteht bei FIR-Filtern die Frage nach Realisierbarkeit und Stabilität nicht.

Ein weiteres sehr wichtiges Merkmal von FIR-Filtern, das für IIR-Filter nicht besteht, ist die Möglichkeit, eine genau lineare Phase zu bekommen. Dies wird durch die Forderung erreicht, daß die Impulsantwort h(n) symmetrisch h(n)=h(N-1-n), oder antimetrisch h(n)= -h(N-1-n) ist.

Diese lineare Phase führt wiederum zu einer konstanten Gruppenlaufzeit, was besonders bei Anwendungen der Signalverarbeitung von Bedeutung ist. Zum Beispiel ist dadurch eine genaue Zeitzuordnung bei Anwendungen der Sprachverarbeitung möglich. Bei Anwendungen der Datenübertragung verhindert eine lineare Phase Impulsverzerrungen, da das Ausgangssignal das zeitverzögerte und gegebenenfalls verstärkte Eingangssignal ist.

Ein Nachteil von FIR-Filtern ist, daß im allgemeinen lange Folgen h(n) notwendig sind, um Filter mit einem steilen Übergang bei der Grenzfrequenz zu erzeugen. Eine große Zahl von Verarbeitungsschritten ist erforderlich, wenn die langsame Faltung angewendet wird. Mit dem Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT) können die Filter jedoch wieder effektiv entworfen werden.

 

Bei den FIR-Tiefpaß-Filtern gelten folgende Amplitudenspezifikationen:

wobei f = w /2p die Frequenz in Hz ist.

Der Durchlaßbereich wird definiert durch 0 £ f £ Fp (bzw. 0 £ w £ w p) und der Sperrbereich durch Fs £ f £ 0,5 (bzw. durch w s £ w £ p ). Gewöhnlich wird die Amplitude eines Filters mit linearer Phase durch die Pseudo-Amplitude H1(w ) beschrieben, die im Durchlaßbereich zwischen 1-d 1 und 1+d 1 und im Sperrbereich zwischen -d 2 und +d 2 schwankt.

Dies ergibt folgendes Toleranzschema:

Graphik 1: Toleranzschema

Für den allgemeinen Fall der optimalen Filter gibt es keine einfachen analytischen Beziehungen zwischen den Filterparametern d 1, d 2, Fp, Fs und N, der Filterlänge. Ausnahmen bilden die Fälle, bei denen es entweder Welligkeiten im Durchlaßbereich oder im Sperrbereich gibt.

Empirisch sind folgende Näherungsbeziehungen abgeleitet worden, die befriedigende Beziehungen zwischen den Filterparametern liefern:

Darin bedeuten:

Ein einfacher aber weniger genauer Ausdruck für N, abgeleitet als eine Modifikation der

Kaiserbeziehung für den Fensterentwurf, ist:

Für den Entwurf von FIR-Filtern mit linearer Phase werden hauptsächlich zwei Methoden verwendet: die Fenstermethode und die Frequenzabtastmethode.

Bei der Frequenzabtastmethode wird der gewünschte Frequenzgang gleichmäßig abgetastet. Die Filterkoeffizienten werden dann aus diesen Abtastwerten durch Anwendung der inversen diskreten Fourier-Transformation berechnet.

Die Fenstermethode beinhaltet ein direktes analytisches Verfahren. Dabei ergeben verschiedene Fenstertypen, wie z.B. das Rechteckfenster, das Hann-, das Hamming- oder das KaiserFenster, unterschiedliche Ergebnisse. Diese Methode wird im folgenden Teil genauer untersucht.

 

4. Die Fensterung und das Rechteckfenster

4.1. Herleitung der Impulsantwort endlicher Länge durch Begrenzung

Eine Möglichkeit, eine Impulsantwort mit endlicher Länge zu erzeugen, besteht darin, eine unbegrenzte Impulsantwort zu begrenzen.

Meist hat das ideale Filter einen stückweise konstanten Amplitudengang mit Unstetigkeiten an den Bandgrenzen. Deshalb ist die Impulsantwort unendlich. Da der gewünschte Frequenzgang periodisch ist, kann er als Fourier-Reihe dargestellt werden (der Index d steht für desired also für den gewünschten Frequenzgang).

Dabei erhält man jedoch eine unendliche Anzahl von Fourier-Koeffizienten hd(n).

Bei "einfachen" Amplitudenverläufen können diese Fourier-Koeffizienten geschlossen berechnet werden. Der Frequenzgang der Impulsantwort hd(n) ist der eines IIR-Systems.

Um das Signal trotzdem weiterverarbeiten zu können, wird die ideale Impulsantwort so "abgeschnitten", daß der Großteil der enthaltenen Energie und damit der wesentliche Teil des Signals erhalten bleibt. Die Impulsantwort-Folge wird zu einer neuen Folge mit der Länge N begrenzt:

Der tatsächliche Frequenzgang H(ejw ) dieser Folge mit begrenzter Dauer bestimmt sich aus der Beziehung

Dies entspricht einer zirklulären Faltung. Der effektive Frequenzgang ist also eine verschmierte Fassung des idealen, gewünschten Frequenzganges.

Allgemein ist der Frequenzgang H(ejw ) eine komplexe Größe. |H(ejw )| ist der Betrag oder Amplitudengang und F (w ) der Phasengang des komplexen Frequenzganges.

Äquivalent dazu ist, wenn man durch ein Fenster sieht und dadurch nur jene Terme von hd(n) erkennt, für die gilt 0 £ n £ N-1. Aus diesem Grund wird dieses Verfahren auch Fensterung genannt.

Aus den obigen Beziehungen kann man auch erkennen, daß allgemein gilt: Eine Fensterung im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich; eine Fensterung im Frequenzbereich entspricht einer Faltung im Zeitbereich.

 

4.2. Das Rechteckfenster

Der obige Ausdruck der Impulsantwort-Folge kann auch durch Multiplikation der Folge hd(n) mit der Folge wR(n) hergeleitet werden. wR(n) ist wie folgt definiert:

Der resultierende Ausdruck, der gleichwertig mit der obigen Impulsantwort-Folge ist, lautet

 

Der Graph der Folge wR(n) wird wegen seiner Form Rechteck-Fenster genannt (siehe Abbildung 1).

 

 

Eine FIR-Approximation kann auch durch Begrenzung außerhalb des Intervalls M £ n £ M (è N=2M+1) erreicht werden. Diese Art der Begrenzung hat gewisse Symmetrieeigenschaften, die sie vom analytischen Standpunkt aus erstrebenswert macht. Sie hat jedoch den Nachteil, daß es immer eine ungerade Anzahl von Termen in der Fensterfolge gibt, insgesamt 2M+1. Die begrenzte Reihe hat die Form

mit dem entsprechenden Rechteck-Fenster

Der Index S soll dabei die Symmetrie des Fensters ausdrücken und es von der kausalen Fensterfunktion wR(n) unterscheiden. Die Beziehung zwischen den beiden Impuls-Antwortfolgen ist gegeben durch

 

 

 

 

Das Rechteck-Fenster:

Abbildung 1: Das Rechteckfenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 1: Das Rechteckfenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

4.3. Problem des Rechteck-Fensters: Gibbs-Phänomen / Leck-Effekt

Ein Nachteil bei der direkten Begrenzung der unbegrenzten Folge zu einer Folge mit begrenzter Impulsantwort ist, dass das Gibbs-Phänomen auftritt, benannt nach J. Willard Gibbs, der als erster auf diesen Effekt aufmerksam machte.

Das Gibbs-Phänomen das auch als Leck-Effekt bezeichnet wird tritt immer dann auf, wenn eine unendliche Unstetigkeit durch eine begrenzte Zahl von Termen einer Reihe approximiert werden soll. Dabei kommt es zu einer Überhöhung und Welligkeit vor und hinter der Sprungstelle. Der Grund dafür ist, dass es unmöglich ist, eine unendliche Steigung mit einer endlichen Zahl von Termen zu erreichen.

Wenn man die Anzahl der Terme erhöht, nimmt die Welligkeit jedoch nicht ab, sondern sie wird in einen engeren Bereich um die Unstetigkeitsstelle zusammengedrückt.

Zur Verdeutlichung ein Beispiel: das Rechteckfenster:

Man betrachtet folgende Funktion mit der Periode 2p :

Die begrenzte Fourier-Reihe hat die Form

die Fourier-Koeffizienten sind gleichmäßig gewichtet.

 

Dabei gilt:

Daraus kann man ablesen, dass die Reihe an der Unstetigkeitsstelle bei t=0 den Wert 1 in einem verschwindend kleinen Bereich um fast 18% (17,9%) übersteigt, und dann auf den Endwert 1 abfällt. Die gleiche Situation tritt bei t=p auf, wo die Reihe den Wert 1 um ebenfalls 17,9% unterschreitet.

 

Die Graphen für WR(t) mit N = 0, 4 und 9 haben folgendes Aussehen:

 

Graphik 2: Das Gibbs-Phänomen

 

Die wichtigsten Standardfilter sind Tiefpaß-, Hochpaß-, Bandpaß- und Bandsperren-Filter, die alle die Approximation einer Unstetigkeitsstelle im idealen Amplitudengang erfordern.

Wenn das Rechteckfenster angewendet wird, um die unendliche Reihe zu begrenzen, dann tritt das Gibbs-Phänomen auf und damit eine meist unbefriedigende Approximation: es entstehen Überhöhungen mit Welligkeiten vor und hinter der Sprungstelle.

Damit besitzt das Rechteckfenster zwar eine sehr schmale Hauptkeule mit B=4p /N, die Abschwächung der ersten Nebenkeule im Vergleich zur Amplitude der Hauptkeule beträgt jedoch nur ca. 13 dB.

Aus diesem Grund besitzt das Rechteck-Fenster für komplexere Aufgaben keinen praktischen Wert und es müssen andere Fenstertypen gefunden werden, die dieses Problem verringern.

Eine Ausnahme davon bildet die Fensterung bei transienten Signalen. Bei zeitlich abklingenden Signalen, wie z.B. Impulsen, darf nur das Rechteckfenster verwendet werden. Andere Fenster würden die Impulsform und damit auch das Spektrum verfälschen.

 

 

5. Weitere häufig angewandte Fenster

Die Anwendung des Rechteck-Fensters mit seiner gleichmäßigen Gewichtung der Fourier-Koeffizienten ist in vielen Fällen wegen des auftretenden Gibbs-Phänomens wie oben beschrieben unbrauchbar. Um das Ergebnis zu verbessern, ist es erforderlich, diejenigen Koeffizienten, die durch die Begrenzung erhalten bleiben, stärker zu gewichten.

Auf diese Art wurden verschiedene Fenstertypen entwickelt. Die am häufigsten benutzten Fenster und ihre Eigenschaften sollen hier beschrieben werden.

 

 

5.1. Symmetrie-Eigenschaften

Um eine lineare Phase bei den zu entwerfenden FIR-Filtern zu erreichen, ist es notwendig, daß das verwendete Fenster symmetrisch ist.

Es muß gelten:

oder

abhängig davon, ob der Bereich 0 £ n£ N-1 ist oder (N-1)/2 £ n £ (N-1)/2=M.

Wenn hd(n) eine dieser Symmetrieeigenschaften besitzt, dann wird auch h(n) symmetrisch, und das entstehende FIR-Filter hat eine lineare Phase.

 

 

5.2. Das symmetrische modifizierte Rechteckfenster

Eines der ersten Fenster, das als Alternative zum Rechteck-Fenster entwickelt wurde, ist das symmetrische modifizierte Rechteckfenster nach R.W. Hamming.

Es unterscheidet sich vom Rechteck-Fenster nur dadurch, daß die beiden Endwerte des Fensters zu Übergangssamples abgeändert werden. Sie besitzen nicht mehr den Wert 1, sondern den modifizierten Wert :

 

Die Verbesserungen sind aber, wie in Abbildung 3 zu erkennen ist, noch nicht befriedigend.

 

Das modifizierte Reckteck-Fenster:

Abbildung 2: Das modifizierte Rechteckfenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Fortsetzung Abbildung 3: Das modifizierte Rechteckfenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

5.3. Das Hann- bzw. Hanning-Fenster

Ein Fenster, das die Koeffizienten weit mehr gewichtet, aber trotzdem noch relativ einfach ist, ist das Hann-Fenster nach J. von Hann.

Es ist auch bekannt als Hanning-Fenster oder "Raised-Cosinus-Fenster" und wird definiert durch

 

Dabei ist festzustellen, daß w(0) = W(N-1) = 0 ist, so daß es immer nur N-2 von null verschiedene Terme in der Fensterfolge gibt.

Die Kurve des Fensters für N1 = 41 (M1 = 20) und N2 = 101 (M2 = 50) sowie die dazugehörenden Frequenzgänge sind in Abbildung 4 dargestellt.

 

Man sieht, daß die Breite der Hauptkeule mit B=8p /N doppelt so groß ist wie beim Rechteckfenster. Dafür beträgt die Abschwächung der ersten Nebenkeule bereits 31 dB.

 

Das bedeutet jedoch, daß auch mit dem Hann-Fenster der Leck-Effekt auftritt, obwohl durch die Absenkung des Fensters an den Rändern auf 0 keine Unstetigkeitsstelle mehr vorhanden ist. Dafür kann folgende Erklärung gegeben werden:

Es kann gezeigt werden, daß sich der Frequenzgang des Hann-Fensters aus der Überlagerung von drei gegeneinander versetzten Spektralfunktionen eines Rechteck-Fensters ergibt:

 

Dabei wird auch die prinzipielle Wirkung des Hann-Fensters deutlich: Der Durchlaßbereich der Spektralfunktion wird von ± 2p /N auf ± 4p /N verbreitert, während die Oszillation im Sperrbereich durch die Überlagerung deutlich abgeschwächt wird.

 

 

 

 

Das Hann-Fenster:

Abbildung 3: Das Hann-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 4: Das Hann-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

5.4. Das Hamming-Fenster

Die Wirkung des Hann-Fensters beruht, wie oben beschrieben, darauf, daß durch die Überlagerung von drei gegeneinander verschobenen sin(N.w /2)/sin(w /2)-Funktionen eine Dämpfung der Sperrbereichs-Oszillation erfolgt. Der Grad der Auslöschung ist dabei jedoch eher zufällig.

Mit dem Hamming-Fenster wird diese zufällige Auslöschung gezielt verbessert: durch das Einbringen eines wählbaren Parameters b wird das Hann-Fenster modifiziert und damit eine Verringerung unerwünschter Spektralanteile erreicht:

 

Durch eine entsprechende Wahl von b kann eine vollständige Auslöschung des Hauptmaximums im Sperrbereich erreicht werden.

Das Maximum im Sperrbereich liegt etwa bei w = 5p /N. Aus

folgt, daß b =0,46. Damit definiert man die neue Fensterfunktion als Hamming-Fenster:

 

 

 

Aus obiger Gleichung kann berechnet werden, daß w(0) = w(N-1) = 0,08. Wegen dieser von null verschiedenen Terme bei n=0 und bei n=N-1 wird das Hamming-Fenster auch als
"Raised-Cosinus-Fenster" mit Plattform bezeichnet.

 

Der Graph der Fensterkurve und die Frequenzgänge sind für N1 = 41 (M1 = 20) und N2 = 101 (M2 = 50) in Abbildung 5 dargestellt.

 

Man sieht, daß die Hauptkeule hier gleich breit ist wie beim Hann-Fenster: B=8p /N. Die Dämpfung der ersten Nebenkeule ist aber noch deutlicher ausgeprägt und beträgt bereits 41 dB.

Die Hamming-Fensterfunktion minimiert das Hauptmaximum im Sperrbereich. Eine globale Optimierung des Sperrbereiches ist damit jedoch nicht erreicht!

 

 

Das Hamming-Fenster:

Abbildung 4: Das Hamming-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 5: Das Hamming-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

5.5. Das Verallgemeinerte Hamming-Fenster

Die oben beschriebenen Rechteck-, Hann- und Hamming-Fenster sind Sonderfälle einer weiteren Fensterklasse, dem sogenannten verallgemeinerten Hamming-Fenster nach Rabiner und Gold. Es wird beschrieben durch

wobei a im Bereich von 0 £ a £ 1 liegt.

Das Rechteckfenster entsteht für a =1, das Hann-Fenster für a =0,5. Das Hamming-Fenster erhält man mit a =0,54.

 

Der Frequenzgang Wa (ejw ) des verallgemeinerten Hamming-Fensters kann durch Terme mit WR(ejw ) ausgedrückt werden, also mit dem Frequenzgang des Rechteck-Fensters.

Dazu wird das verallgemeinerte Hamming-Fenster zunächst in symmetrischer Form betrachtet:

Mit der Beziehung kann man schreiben

Dieser Ausdruck kann in eine Summendarstellung umgewandelt werden:

Der Frequenzgang des verallgemeinerten Hamming-Fensters besteht also aus einer Überlagerung von drei Einzelkomponenten.

Der Graph im Zeitbereich sowie die Frequenzgänge des verallgemeinerten Hamming-Fensters sind hier für N1 = 41 (M1 = 20) und N2 = 101 (M2 = 50) für a = 0.3, a = 0.4, a = 0.5,
a = 0.54, a = 0.9 und a = 1.0 in den Abbildungen 6 bis 11 dargestellt:

 

 

Die Breite der Hauptkeule ist näherungsweise 8p /(2M+1) und damit etwa doppelt so groß wie beim Rechteckfenster. Diese größere Breite der Hauptkeule vergrößert bei gleichem M jedoch den Übergangsbereich. Die Amplituden der Seitenkeulen des verallgemeinerten Hamming-Fensters sind wesentlich kleiner als beim Rechteck-Fenster. Dies bewirkt eine geringere Welligkeit für H(ejw ).

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.3:

Abbildung 5: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.3:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 6: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.3:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0,4

Abbildung 6: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.4:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 7: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.4:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0,5 (entspricht dem Hann-Fenster):

Abbildung 7: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.5 (entspricht Hann-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 8: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.5 (entspricht Hann-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.54 (entspricht Hamming-Fenster):

Abbildung 8: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.54 (entsprich Hamming-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 9: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.54
(entspricht Hamming-Fenster): Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0,9:

Abbildung 9: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.9:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 10: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 0.9:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 1.0 (entspricht Rechteckfenster):

Abbildung 10: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 1.0 (entspricht Rechteck-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 11: Das verallgemeinerte Hamming-Fenster mit alpha = 1.0
(entspricht Rechteck-Fenster): Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

5.6. Das Blackman-Fenster

Zu den gebräuchlichen einfachen Fensterfunktionen ist auch das Blackman-Fenster zu zählen:

Dieses Fenster weist im Vergleich mit Hann- und (verallgemeinerten) Hamming-Fenster die größte Sperrdämpfung auf. Andererseits ist damit der breiteste Durchlaßbereich verbunden (schmalerer Verlauf im Zeitbereich!).

 

Der Frequenzgang besitzt eine relativ breite Hauptkeule, dafür ist die Nebenkeulen-Dämpfung sehr gut: B=12p /N, die erste Nebenkeule wird bereits um 57 dB gedämpft (siehe Abbildung 12).

 

 

Abbildung 11: Das Blackman-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

1. Fortsetzung Abbildung 12: Das Blackman-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

2. Fortsetzung Abbildung 12: Das Blackman-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

5.7. Das Barlett-Dreieck-Fenster

Das Barlett-Dreieck-Fenster ist definiert durch

Sein Aussehen wird in Abbildung 13 dargestellt. Der dazugehörige Frequenzgang wird für die Werte M1 = 20 und M2 = 50 aufgezeigt.

Die Hauptkeule ist 8p /N breit, die Dämpfung der ersten Nebenkeule beträgt 25 dB. Im Vergleich zu den bereits erwähnten Fenstertypen sind diese beiden Werte jeweils nur durchschnittlich. Dafür hat man mit dem Barlett-Dreiecks-Fenster den großen Vorteil eines rein positiven Frequenzganges.

Von großem Vorteil ist diese Eigenschaft bei der Berechnung des Leistungsdichtespektrums. Dieses ist eine nicht negative Funktion in der Frequenz, dessen Erwartungswert dem Erwartungswert des einzelnen Periodogramms entspricht.

Dieser läßt sich durch die Faltung des wahren Leistungsdichtespektrums mit der Spektralfunktion des Barlett-Dreieck-Fensters berechnen.

Das Barlett-Dreieck-Fenster:

Abbildung 12: Das Barlett-Dreieck-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 13: Das Barlett-Dreieck-Fenster:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

5.8. Das Kaiser-Fenster

Ein gutes Fenster entsteht durch eine begrenzte Zeitfunktion, deren Fourier-Transformierte bandbegrenzt ist.

Für zeitkontinuierliche Funktionen haben D. Slepian und H. O. Pollak in einer Reihe von Veröffentlichungen gezeigt, daß die sogenannten "gestreckten sphärischen Wellenfunktionen" (Kugelfunktionen) die Eigenschaften haben, sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich weitestgehend begrenzt zu sein. Kaiser hat daraufhin eine Klasse von Fenstern festgelegt, die die Eigenschaften dieser Funktionen sehr gut approximieren und sich wesentlich leichter berechnen lassen.

Diese Fenster werden Kaiser-Fenster oder Io-sinh-Fenster genannt.

Sie sind folgendermaßen definiert:

wobei a eine Konstante bezeichnet, deren typische Werte im Intervall 4 £ a £ 9 liegen.

I0(x) ist die modifizierte Besselfunktion erster Art nullter Ordnung, die folgendermaßen definiert ist und dieses Aussehen besitzt:

 

 

Abbildung 13: Mod. Besselfunktion I0(x), 1. Art, 0. Ordnung

Wird beim Kaiser-Fenster der Parameter a geändert, dann ändern sich sowohl die Übertragungsbandbreite als auch die Höhe der Welligkeit der Nebenkeulen. Dies gibt Filterentwicklern die Möglichkeit, die Breite der Hauptkeule, die Höhe des Überschwingens an der Sprungstelle und die Höhe der Amplitudenwelligkeit der Nebenkeulen aufeinander abzustimmen.

Allgemein wird das Kaiser-Fenster in denjenigen Fällen eingesetzt, in denen Rechteck-, Hann- und Hamming-Fenster keine befriedigende Lösungen liefern.

 

In den Abbildungen 15 bis 19 werden verschiedene Kaiser-Fenstern mit N1 = 41 und
N2 = 101 dargestellt. Die verschiedenen Werte für alpha sind a 1 = 0, a 2 = 1.51, a 3 = 3.0,
a 4 = 5.441 und a 5 = 8.885.

 

Um eine Vorstellung vom Frequenzgang des Kaiser-Fensters zu bekommen, betrachtet man folgende kontinuierliche Zeitfunktion:

 

Die Folge wK(a ,n) kann durch Abtastung von wK(a ,t) bei T=1 und t =(N-1)/2 erzeugt werden, und damit der Frequenzgang WK(a ,ejw ) aus Wa (a ,jW ) für w =W . Die Fourier-Transformierte Wa(a ,jW ) ist von Campbell und Foster angegeben worden:

Das abgetastete Signal w(a ,n) = wa(a ,nT) hat den Frequenzgang

 

Der analoge Frequenzgang ist ausreichend begrenzt, so daß die Näherung gilt

Damit erhält man

 

 

Die entsprechenden Graphen sind in den Abbildungen 15 bis 19 dargestellt.

Dabei ist festzustellen, daß a =0 ein Rechteckfenster beschreibt.

Bei a =8,885 geht das Kaiserfenster in das Blackman-Fenster über.

Für a =5,441 geht das Kaiser nicht in das Hamming-Fenster über. Beide Fenstertypen haben zwar dieselbe Breite der Hauptkeule, sie unterscheiden sich jedoch in den Seitenkeulen. Dies wird in dem regelmäßigen "Rolloff" der aufeinanderfolgenden Seitenkeulen des Kaiser-Fensters sichtbar, wenn sie mit den ersten Seitenkeulen aus dem Hamming-Fenster und deren Werten verglichen werden.

 

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 0 (entspricht Rechteckfenster):

Abbildung 14: : Das Kaiser-Fenster mit alpha = 0.0 (entspricht Rechteck-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 15: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 0.0 (entspricht Rechteck-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 1,51:

Abbildung 15: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 1.51:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 16: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 1.51:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 3,0:

Abbildung 16: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 3.0:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 17: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 3.0:
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 5,441 (entspricht NICHT dem Hamming-Fenster!):

Abbildung 17: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 5.441 (entspricht nicht dem Hamming-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 18: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 5.441 (entspricht nicht dem Hamming-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 8,885 (entspricht Blackman-Fenster):

Abbildung 18: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 8.885 (entspricht dem Blackman-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

Fortsetzung Abbildung 19: Das Kaiser-Fenster mit alpha = 8.885 (entspricht dem Blackman-Fenster):
Graphen im Zeit- und Frequenzbereich für N1 = 41 und N2 = 101

 

 

6. Beurteilung der verschiedenen Fenster

6.1. Kriterien zur Auswahl eines Fensters

Die (sinNx/sinx)-Funktion hat eine Haupt- und viele Nebenkeulen. Sie liefert die Einhüllende der Spektrallinien. Die diskreten Spektrallinien liegen im Abstand D f = 1/NTa

Damit wiederholt sich das Spektrum bei der Abtastfrequenz fa = 1/Ta.

Deshalb ist bei der Auswahl eines Fensters auf folgende Punkte zu achten:

Abbildung 19: Kriterien zur Beurteilung eines Fensters:
a) Verhältnis aus der Amplitude der höchsten Nebenkeule und der Amplitude der Hauptkeule
b) Maximaler Abtastfehler
c) Breite der Hauptkeule, ausgedrückt durch die Frequenzdifferenz c = f0 f3

 

6.1.1. Verhältnis aus der Amplitude der höchsten Nebenkeule und der Amplitude
der Hauptkeule

Die Diskrete Fourier-Transformierte Wd(jw ) einer Fensterfunktion w(t) liefert bei w =0 die maximale Amplitude der Hauptkeule. Die Amplituden der Nebenkeulen sind geringer. Das Verhältnis a

wird für den Vergleich verschiedener Fensterfunktionen benutzt.

 

6.1.2. Maximaler Abtastfehler

Die Spektrallinien einer abgetasteten Funktion fallen nicht notwendigerweise mit den Nullstellen der Diskreten Fourier-Transformierten eines Fensters zusammen. Die Spektrallinien des Fensters liegen im Abstand D f. Die Amplitude der Hauptkeule bei f=0 ist größer als die Amplitude bei der Frequenz f=D f/2. Das Verhältnis b

gibt an, um wieviel eine Amplitude höchstens falsch gemessen wird. Dies wird als maximaler Abtastfehler bezeichnet.

 

6.1.3. Die Breite der Hauptkeule

Die Fensterfunktionen, bei denen die Nebenkeulen niedrig bleiben, haben eine besonders breite Hauptkeule. Dies ist ungünstig und führt zu einem Auseinanderlaufen der Spektrallinien. Zur Charakterisierung der Hauptkeule dient die 3-dB-Grenzfrequenz. Dieses ist die Frequenz, bei der die Amplitude der Hauptkeule auf 3 dB abgefallen ist. Das Verhältnis

definiert die Frequenz f3. Sie ist ein Maß für die Breite der Hauptkeule.

 

 

6.2. Zusammenfassung der Eigenschaften der verschiedenen Fensterfunktionen

Hier sollen nochmals die bereits vorne genannten verschiedenen Eigenschaften der Fenster kurz zusammengefaßt werden, um einen besseren Überblick zu bekommen.

 

6.2.1. Vergleich der verschiedenen Abtastfenster im Zeitbereich

Es werden das Rechteck-Fenster, das Hann-Fenster, das Hamming-Fenster, das Barlett-Dreieck-Fenster, das Kaiser-Fenster mit alpha = 3.0 und das Blackman-Fenster miteinander verglichen.

Die verschiedenen Fenster besitzen im Zeitbereich folgende Form:

Abbildung 20: Verschiedene Fensterformen im Zeitbereich

6.2.2. Vergleich der verschiedenen Abtastfenster im Frequenzbereich

Diese Abbildungen sollen einen zusammenfassenden Überblick über die verschiedenen Fenster und deren Frequenzgänge liefern:

Im folgenden werden die unterschiedlichen Fenstertypen und ihre Frequenzgänge (auf 0 dB skaliert) dargestellt:

Das Rechteck-Fenster:

Das Modifizierte Rechteck-Fenster:

Das Hann-Fenster:

Das Hamming-Fenster:

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 0.3:

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 0.4:

Abbildung 21: Unterschiedliche Fenstertypen und ihre Frequenzgänge (auf 0 dB skaliert)

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 0.5 (entspricht Hann-Fenster):

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 0.54 (entspricht Hammin-Fenster):

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 0.9:

Das verallgemeinerte Hamming-Fenster
mit alpha = 1.0 (entspricht Rechteck-Fenster):

Das Blackman-Fenster:

Das Barlett-Dreieck-Fenster:

1.Fortsetzung Abbildung 22: Unterschiedliche Fenstertypen und ihre Frequenzgänge (auf 0 dB skaliert)

 

 

 

 

 

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 0
(entspricht Rechteck-Fenster):

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 1.51:

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 3.0:

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 5.441
(entspricht nicht Hamming-Fenster):

Das Kaiser-Fenster mit alpha = 8.885
(entspricht Blackman-Fenster):

2.Fortsetzung Abbildung 22: Unterschiedliche Fenstertypen und ihre Frequenzgänge (auf 0 dB skaliert)

 

 

6.2.3. Die Eigenschaften der verschiedenen Fensterfunktionen in Tabellenform

Diese Tabelle soll die Eigenschaften der verschiedenen Fenster abschließend zusammenfassen.

Fenstertyp

Breite der Hauptkeule

Höchste Nebenkeule

Abs. Max. des Spektrums

Rechteck

Dreieck

Hann

Hamming

Blackman

4p /N+1

8p /N

8p /N

8p /N

12p /N

0,45D f

0,64D f

0,72D f

0,65D f

0,84D f

-13dB = 0,224

-27dB = 0,045

-32dB = 0,025

-43dB = 0,007

-58dB = 0,001

32 = N

15,6 » N/2

16,8

13,0

Fenstertyp

Max. Abtastfehler

Approx. Fehler
20log10d (dB)

Äquiv. Kaiserfenster

Rechteck

Dreieck

Hann

Hamming

Blackman

0,64

0,81

0,85

0,82

0,88

-21

-25

-44

-53

-74

0

1,33

3,86

4,86

7,04

Tabelle 1: Zusammenfassung der Eigenschaften der verschiedenen Fensterfunktionen

 

 

 

7. Schlußbemerkungen

Abschließend betrachtet kann gesagt werden, daß bei der Fensterung einige Punkte beachtet werden müssen, um ein befriedigendes Ergebnis zu erhalten, da je nach verwendetem Fenster unterschiedliche Phänomene im Frequenzbereich auftreten.

Diese können in den eingefügten Graphiken genauer betrachtet werden.

Für eine vergrößerte Auflösung können sämtliche Ausschnitte der Abbildungen als Matlab-Graphiken nochmals gezoomt werden.

Alle Matlab-Skripten sind im Gesamtpaket der gesamten Dateien beigefügt.

 

 

Literaturverzeichnis

 

 

 

Johnson, Johnny R.:

Digitale Signalverarbeitung,

Coedition der Verlage Carl Hanser und Prentice-Hall International,

München, London 1991

 

Kammeyer, Prof. Dr.-Ing. Karl Dirk., Kroschel, Prof. Dr.-Ing. Kristian:

Digitale Signalverarbeitung, Filterung und Spektralanalyse,

B. G. Teubner Verlag, Stuttgart, 1996

 

Kronmüller, Heinz:

Digitale Signalverarbeitung: Grundlagen, Theorie, Anwendungen in der Automatisierungstechnik,

Springer Verlag Berlin, 1991

 

Oppenheim, Alan V., Schafer, Ronald W.:

Zeitdiskrete Signalverarbeitung,

2., neu übersetzte und überarbeitete Auflage,

R. Oldenbourg Verlag München Wien, 1995

 

Schrüfer, Elmar:

Signalverarbeitung: numerische Verarbeitung digitaler Signale,

2. durchgesehene Auflage,

Carl Hanser Verlag München Wien, 1992